Phương pháp tìm Điểm cố định- Đường thẳng và Đường tròn luôn đi qua điểm-Hình học 9

Phương pháp :  Để tìm điểm cố định trong một bài toán ta thường xem xét các vấn đề sau :

Bước 1 : Hình dung được sự thay đổi của điểm di động và các điểm có liên quan với nó thay đổi như thế nào. Điều này tác giả đã nói ở dạng trên.

Bước 2 : Xem xét các đại lượng không đổi, các điểm không thay đổi khi ta cho điểm di động di chuyển.  Từ đó có thể thấy được bằng cảm tính của mình điểm cố định.

Bước 3 : Chứng minh điểm đó là điểm cố định vì nó là điểm đặc biệt nào đó của đoạn thẳng , hoặc đường tròn cố định nào đó.

1.  Chứng minh khoảng cách từ điểm đó đến một điểm cố định khác thuộc đường thẳng là không đổi.

2. Chứng minh nó là giao điểm của hai đường thẳng cố định nào đó

3. Để chứng minh điểm nằm trên đường tròn cố định ta cần chứng minh nó là điểm cuối hay trung điểm của một cung cố định.

Bài tập mẫu 1 : Cho đường tròn (O) và  dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn . Từ điểm E chính giữa cung lớn AB  kẻ đường kính EF cắt dây AB tại D. Tia CE cắt đường tròn (O) tại I. Các tia AB và FI cắt nhau tại K.

1. Chứng minh rằng: EDKI là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh rằng: CI.CE=CK.CD

3. Chứng minh rằng: IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của  góc AIB.

4. Cho A, B, C cố định. Chứng minh rằng: khi đường tròn (O) thay đổi nhưng nó vẫn đi qua A, B thì đường tròn FI luôn đi qua một điểm cố định.

Bài tập mẫu 2:  Đường thẳng d cắt đường tròn (O) bán kính R tại C và D. M là điểm di động trên d(M ngoài đường tròn và MC<MD). Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A, B là hai tiếp điểm), H là trung điểm của CD.

1. Chứng minh rằng: MIHF và OHEI là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

 2. Chứng minh rằng: MA²=MC.MD

3. Chứng minh rằng: Tứ giác CIOD là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

4. Chứng minh rằng: 4.IF.IE=AB²

5. Chứng minh rằng: khi M di động thì đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài tập mẫu 3: Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây AB<2R. Một điểm M tùy ý trên cung lớn AB (M khác A và B). Gọi I là trung điểm của dây AB và đường tròn (O’)  là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.  Đường thẳng MI cắt đường tròn (O) và đường tròn (O’)  lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N và P.

1. Chứng minh rằng: IA²=IP.IM

2. Chứng minh rằng: tứ giác ANBP là hình bình hành

3. Chứng minh rằng: IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)

4. Chứng minh rằng: khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố định.

Bài tập mẫu 4: Cho đoạn thẳng AB =2a có trung điểm là O. Trên cung một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng d thay đổi cắt Ax tại M, cắt By tại N sao cho: AM.BN=a²

1. Chứng minh rằng: Tam giác AOM  ∽ tam giác BON và góc MON bằng 90⁰

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Chứng minh rằng: đường thẳng d luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H.

3. Chứng minh rằng: tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cố định.

4. Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a.

Bài tập mẫu 5: Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng (theo thứ tự đó). Một đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua BC. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) . Đường thẳng MN cắt AO và AC lần lượt tại H và K.

1. Chứng minh rằng: M, N di động trên một đường tròn cố định.

2. Gọi I là trung điểm của BC. vẽ dây MN song song BC. Chứng minh rằng: DN đi qua điểm cố định.

3. Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp tam giác OHI luôn đi qua hai điểm cố định.

Bài tập mẫu 6: Cho đường tròn (O) bán kính R và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

1. Chứng minh rằng: BEDC là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

 2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính  HA cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: MN song song ED và 4 điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn .

3. Chứng minh rằng: đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi qua điểm cố định O’

5. Tìm độ dài của BC để O’ thuộc đường tròn (O)

Bài tập mẫu 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M, N là hai điểm di động trên AD và DC sao cho  góc MBN bằng 45⁰. BM và BN cắt AC lần lượt tại E và F.

1. Chứng minh rằng: NE vuông góc với BM

2. Gọi H là giao điểm của ME và NF.

Chứng minh rằng: HF.HM=HE.HN

3. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

4. Cho  a=5 ;AM=2 tính độ dài của EF.

Bài tập mẫu 8 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). Vẽ các đường cao BD và CE  và H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ hình bình hành BHCG

a) Chứng minh rằng : Tứ giác AEHD nội tiếp và điểm G thuộc đường tròn (O;R)

b) Khi đường tròn (O;R) cố định, hai điểm B,C cố định và A chạy trên (O;R) thì H chạy trên đường nào ?

Bài tập mẫu 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a, Một đường thẳng d qua tâm O của hình vuông cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Từ E kẻ đường thẳng song song với BD,  từ F kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt nhau  tại I.

1. Chứng minh rằng: A, I, B thẳng hàng

2. Kẻ IH vuông góc với EF tại H . Chứng minh rằng: H luôn thuộc một đường tròn cố định khi quay quanh O.

3. Đường thẳng IH cắt đường trung trực của AB tại K. Chứng minh rằng: Tứ giác AKBH là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn. Suy ra điểm K cố định.

4. Tìm vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn nhất.

Bài tập mẫu 10: Cho đường tròn (O) bán kính R và dây AB cố định. I là điểm chính giữa cung AB. M là điểm di động trên cung lớn AB. k là trung điểm của AB. Vẽ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H cắt đường thẳng MB tai C.

1. Chứng minh rằng: tứ giác AHIK là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

 2. Chứng minh rằng: tam giác AMC là tam giác cân.

3. Chứng minh rằng: khi M di động thì C luôn thuộc một đường tròn cố định.

4. Gọi E là điểm đối cứng với A qua I và F là điểm đối xứng với B qua MI. Chứng minh rằng: tứ giác AFEB là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

 5. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác ABM lớn nhất.

6. Tìm vị trí của M để chi vi tam giác ACM lớn nhất.

______________________

Nội dung trên được trích một phần nhỏ trong quyển sách sau của tác giả. Tham khảo đầy đủ quyển sách và cách giải toán. Mời bạn tìm đọc trên các kệ sách Fahasa trên toàn quốc.

Hoặc mua trực tuyến tại: http://khangvietbook.com.vn/bai-toan-qua-cac-ki-thi-hoc-sinh-gioi-va-luyen-thi-vao-lop-10-chuyen-hinh-hoc-9-p-17416.html